题目内容
10．
如图，在△ABC中，$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$=0，$\overrightarrow{BC}$=3$\overrightarrow{BD}$，过点D的直线分别交直线AB，AC于点M，N．若$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}$=μ$\overrightarrow{AC}$（λ＞0，μ＞0），则λ+2μ的最小值是$\frac{8}{3}$．
分析 先确定λ，μ的关系，再利用导数法，即可求出λ+2μ的最小值．
解答 解：$\overrightarrow{MB}$=$\overrightarrow{MD}$+$\overrightarrow{DB}$=（1-λ）$\overrightarrow{AB}$
M，D，N三点共线，∴存在实数k，使$\overrightarrow{MD}$=k$\overrightarrow{MN}$=-kλ$\overrightarrow{AB}$+kμ$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{DB}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$；
∴（$\frac{1}{3}$-kλ）$\overrightarrow{AB}$+（kμ-$\frac{1}{3}$）$\overrightarrow{AC}$=（1-λ）$\overrightarrow{AB}$
∴$\frac{1}{3}$-kλ=1-λ，kμ-$\frac{1}{3}$=0，
∴μ=$\frac{λ}{3λ-2}$，
∴λ+2μ=λ+$\frac{2λ}{3λ-2}$
设f（λ）=λ+$\frac{2λ}{3λ-2}$，λ＞0；
∴f′（λ）=$\frac{9{λ}^{2}-12λ}{（3λ-2）^{2}}$，令f′（λ）=0得，λ=0，或$\frac{4}{3}$；
∴λ∈（0，$\frac{4}{3}$）时，f′（λ）＜0，λ∈（$\frac{4}{3}$，+∞）时，f′（λ）＞0；
∴λ=$\frac{4}{3}$时，f（λ）取极小值，也是最小值；
∴f（λ）的最小值为$\frac{8}{3}$；
即λ+2μ的最小值为$\frac{8}{3}$．
故答案为：$\frac{8}{3}$．
点评 考查向量的加法、减法运算，共线向量基本定理，以及平面向量基本定理，通过求导求函数的最小值的方法及过程．
阅读快车系列答案| A． | $\frac{12}{25}$ | B． | $\frac{24}{25}$ | C． | $-\frac{24}{25}$ | D． | $-\frac{12}{25}$ |
| A． | （0，6） | B． | [-$\frac{1}{4}$，6] | C． | [-$\frac{1}{4}$，0] | D． | [$\frac{3}{4}$，6] |
如图，|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=1，$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$的夹角是120°，$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OC}$的夹角为30°，$\overrightarrow{OC}$=5，$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$表示$\overrightarrow{OC}$．