Question

3．若函数f（x）的图象从左到右先增后减，则称函数f（x）为“∩型函数”，图象的最高点的横坐标称为“∩点”．
（1）分别判断函数f（x）=lnx-x与函数g（x）=x²-3x+lnx是否为“∩型函数”．若是，求出它的“∩点”，若不是，试说明理由．
（2）若关于x的方程g（x）+b=0在区间[$\frac{1}{2}$，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；
（3）证明：$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{（k-1）^{2}}{{k}^{2}}$-3×$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{k-1}{k}$＜lnn-n+1．

Answer 1

分析 （1）f（x）为“∩型函数”，且它的“∩点”为1；g（x）不为“∩型函数”．分别求出f（x），g（x）的导数，求得单调区间，即可得到结论；
（2）由（1）求得g（x）的最小值和端点的函数值，关于x的方程g（x）+b=0在区间[$\frac{1}{2}$，2]上恰有两个不相等的实数根，即为-b=g（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上恰有两个不相等的实数根．即可得到b的范围；
（3）由（2）可得函数g（x）=x²-3x+lnx（x＞0）在（0，$\frac{1}{2}$）上递增，在（$\frac{1}{2}$，1）上递减，即有g（x）≤g（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{5}{4}$-ln2，即为x²-3x≤-$\frac{5}{4}$-ln2-lnx，再由累加法即可得证．

解答 解：（1）f（x）为“∩型函数”，且它的“∩点”为1；g（x）不为“∩型函数”．
理由：函数f（x）=lnx-x（x＞0）的导数为f′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
由f′（x）＞0，可得0＜x＜1，由f′（x）＜0，可得x＞1，
即f（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）递减，
则f（x）为“∩型函数”，且它的“∩点”为1；
函数g（x）=x²-3x+lnx（x＞0）的导数为g′（x）=2x-3+$\frac{1}{x}$=$\frac{（x-1）（2x-1）}{x}$，
由g′（x）＞0，可得x＞1或0＜x＜$\frac{1}{2}$，由g′（x）＜0，可得$\frac{1}{2}$＜x＜1，
即g（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上递增，在（$\frac{1}{2}$，1）上递减，在（1，+∞）递增．
则g（x）不为“∩型函数”．
（2）由（1）可得，g（x）在[$\frac{1}{2}$，1）递减，在（1，2]递增，
则g（x）在x=1处取得最小值，且为-2，
又g（2）=ln2-2，g（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{5}{4}$-ln2，g（2）＞g（$\frac{1}{2}$），
关于x的方程g（x）+b=0在区间[$\frac{1}{2}$，2]上恰有两个不相等的实数根，
即为-b=g（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上恰有两个不相等的实数根．
即有-2＜-b≤-$\frac{5}{4}$-ln2，
解得$\frac{5}{4}$+ln2＜b＜2．
（3）证明：由函数g（x）=x²-3x+lnx（x＞0）在（0，$\frac{1}{2}$）上递增，在（$\frac{1}{2}$，1）上递减，
即有g（x）≤g（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{5}{4}$-ln2，即为x²-3x≤-$\frac{5}{4}$-ln2-lnx，
则有$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{（k-1）^{2}}{{k}^{2}}$-3×$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{k-1}{k}$＜（-$\frac{5}{4}$-ln2-ln$\frac{1}{2}$）+（-$\frac{5}{4}$-ln2-ln$\frac{2}{3}$）+（-$\frac{5}{4}$-ln2-ln$\frac{3}{4}$
+…+（-$\frac{5}{4}$-ln2-ln$\frac{n-1}{n}$）=-（n-1）•（$\frac{5}{4}$+2）-ln（$\frac{1}{2}•\frac{2}{3}$…$•\frac{n-1}{n}$）
=lnn-（n-1）•（$\frac{5}{4}$+2）＜lnn-n+1．
则$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{（k-1）^{2}}{{k}^{2}}$-3×$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{k-1}{k}$＜lnn-n+1．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查新定义的理解和运用，运用单调性得最值，结合累加法证明不等式，属于中档题．