Question

已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x²＋2x.
(1)求函数g(x)的解析式；
(2)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|；
(3)若h(x)＝g(x)－λf(x)＋1在[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围

Answer 1

(1)设函数y＝f(x)的图象上任一点Q(x₀，y₀)关于原点的对称点为P(x，y)，
则　，即　.
∵点Q(x₀，y₀)在函数y＝f(x)的图象上，
∴－y＝x²－2x，即y＝－x²＋2x，故g(x)＝－x²＋2x.
(2)由g(x)≥f(x)－|x－1|可得：2x²－|x－1|≤0.
当x≥1时，2x²－x＋1≤0，此时不等式无解．
当x<1时，2x²＋x－1≤0，∴－1≤x≤.
因此，原不等式的解集为.
(3)h(x)＝－(1＋λ)x²＋2(1－λ)x＋1.
①当λ＝－1时，得h(x)＝4x＋1在[－1,1]上是增函数，符合题意，∴λ＝－1.
②当λ≠－1时，抛物线h(x)＝－(1＋λ)x²＋2(1－λ)x＋1的对称轴的方程为x＝.
(ⅰ)当λ<－1，且≤－1时，h(x)在[－1,1]上是增函数，解得λ<－1.
(ⅱ)当λ>－1，且≥1时，h(x)在[－1,1]上是增函数，解得－1<λ≤0.
综上，得λ≤0.

解析