题目内容
4.直线Ax+By+C=0与圆x2+y2=4相交于两点M、N,若满足C2=A2+B2,则$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$(O为坐标原点)等于( )A. | 1 | B. | 0 | C. | -1 | D. | -2 |
分析 设出点M,N坐标,进而表示出$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$,把直线方程与圆方程联立分别利用韦达定理求得x1x2和y1y2的表达式,代入$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$,根据C2=A2+B2,求得答案.
解答 解:设M(x1,y1),N(x2,y2),
则$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x1x2+y1y2,
由方程Ax+By+C=0与x2+y2=4联立消去y得:
(A2+B2)x2+2ACx+(C2-4B2)=0,
∴x1x2=$\frac{{C}^{2}-4{B}^{2}}{{A}^{2}+{B}^{2}}$,
同理,消去x可得:y1y2=$\frac{{C}^{2}-4{A}^{2}}{{A}^{2}+{B}^{2}}$,
∴x1x2+y1y2=$\frac{2{C}^{2}-4{A}^{2}-4{B}^{2}}{{A}^{2}+{B}^{2}}$
又C2=A2+B2,得:x1x2+y1y2=-2,
即$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-2.
故选:D.
点评 本题主要考查了直线与圆相交的性质,向量的基本运算.考查了学生基本运算能力,基础知识的熟练掌握.
练习册系列答案
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