Question

14．如图，水渠的横断面为等腰梯形，水的横断面面积为S，水面高为h，问侧面与地面所成角θ为多大时，横断面被水浸湿的长度（称为湿周）最小？并求出最小湿周．

Answer 1

分析 设横断面被水浸湿的长度为l，AB=CD=x，可得l=$\frac{S}{h}$-（2-cosθ）•$\frac{h}{sinθ}$，导数法求到唯一的极值即为所求．

解答 解：设横断面被水浸湿的长度为l，AB=CD=x，
则l=BC+2x=$\frac{S}{h}$-xcosθ+2x=$\frac{S}{h}$-（2-cosθ）x
=$\frac{S}{h}$-（2-cosθ）•$\frac{h}{sinθ}$，
令l′=0，即$\frac{1-2cosθ}{si{n}^{2}θ}$，解得cosθ=$\frac{1}{2}$，θ=60°，
∵l只有1个极值点，也是最小值点，
把θ=60°代入l=$\frac{S}{h}$-（2-cosθ）•$\frac{h}{sinθ}$可得l_min=$\frac{S}{h}$+$\sqrt{3}$h，
∴当侧面与地面所成角θ=60°时，横断面被水浸湿的长度最小，且最小值为l_min=$\frac{S}{h}$+$\sqrt{3}$h，

点评 本题考查三角函数的最值，涉及三角形的边角关系和函数的极值，属中档题．