题目内容
16.已知数列{an},且2a1+2a2+3a3+…+nan=3n,则数列{an}的通项公式为${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2},n=1}\\{\frac{2}{n}×{3}^{n-1},n≥2}\end{array}\right.$.分析 2a1+2a2+3a3+…+nan=3n,当n≥2时,2a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=3n-1,相减可得an.当n=1时,2a1=3,解得a1.
解答 解:2a1+2a2+3a3+…+nan=3n,
∴当n≥2时,2a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=3n-1,
相减可得:nan=3n-3n-1=2×3n-1,
∴an=$\frac{2}{n}×{3}^{n-1}$.
当n=1时,2a1=3,解得${a}_{1}=\frac{3}{2}$.
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2},n=1}\\{\frac{2}{n}×{3}^{n-1},n≥2}\end{array}\right.$.
故答案为:${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2},n=1}\\{\frac{2}{n}×{3}^{n-1},n≥2}\end{array}\right.$.
点评 本题考查了递推关系的应用、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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