Question

【题目】甲、乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满8局时停止.设甲在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为.

（1）求的值；

（2）设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）由题意可知，当甲连胜局或乙连胜局时，第二局比赛结束时比赛停止，再由互斥事件的概率及相互独立事件的概率列方程求的值；（2）随机变量的的可能取值为，根据对立事件与独立事件的概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望..

试题解析：（1）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束,

有， 解得或 .

（2）依题意知，的所有可能值为 ,

设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为，若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响

从而有

,

随机变量的分布列为：

	2	4	6	8

故.