Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁=BC=2，M是BC中点，点N在CC₁上．

(1)试确定点N的位置，使AB₁⊥MN；

(2)当AB₁⊥MN时，求二面角M-AB₁-N的大小．

 

Answer 1

解法一：(1)连结MA，过M作MN⊥B₁M交CC₁于点N．

在正△ABC中，AM⊥BC，又平面ABC⊥平面BC₁，

∴AM⊥平面BC₁

又MN平面BC₁  ∴MN⊥AM

又XMN⊥B₁M  ∴MN⊥平面AMB₁．

∴MN⊥AB₁

在Rt△B₁BM与Rt△MCN中，易知∠NMC=∠BB₁M

∴tan∠NMC=NC=tan∠B₁BM=

即NC=

(2)过点M作ME⊥AB₁，垂足为E，连接EN由(1)知MN⊥平面AMB₁

∴EN⊥AB₁(三垂线定理)

∴∠MEN即为二面角M-AB₁-N的平面角

由AM⊥平面BC₁，知AM⊥B₁M

在Rt△AMB₁中，

AM=，B₁M=，AB₁=2

∴ME=,

又MN=

故在Rt△EMN中，

tan∠MEN=

故二面角M-AB_l-N的大小为arctan

解法二：(1)以点M为原点，建立如图所示空间直角坐标系，

则：M(0，0，0)，B(1，0，0)，A(0，-，0)，B₁(1，0，2)令N(-1，0，z) 

∴=(1，，2)，=(-1，0，z)

由AB₁⊥MN，知·=-1+2z=0

∴z=，即NC=

(2)∵AM⊥BC，平面ABC⊥平面B₁BCC₁

∴AM⊥平面B₁BCC₁

∴AM⊥MN，又MN⊥AB₁ ∴MN⊥平面AMB₁

即为平面AB₁M的法向量，

且=(-1，0，)(8分)

设平面AB₁N的法向量为n=(x，y，1)，

且=(1，，2)，=(-1，)

有∴

∴ n=(，1)

∴·n=

而||=   |n|=∴cosθ=

故二面角M-AB₁-N的大小为arcos．