Question

【题目】已知二次函数f（x）=x2+bx+c（其中b，c为实常数）．
（1）若b＞2，且y=f（sinx）（x∈R）的最大值为5，最小值为﹣1，求函数y=f（x）的解析式；
（2）是否存在这样的函数y=f（x），使得{y|y=x2+bx+c，﹣1≤x≤0}=[﹣1，0]，若存在，求出函数y=f（x）的解析式；若不存在，请说明理由．
（3）记集合A={x|f（x）=x，x∈R}，B={x|f（f（x））=x，x∈R}．
①若A≠，求证：B≠；
②若A=，判断B是否也为空集．

Answer 1

【答案】
（1）解：由条件知f（x）=x2+bx+c的最大值为5，最小值为﹣1

而b＞2，则对称轴 ，

则 ，即 ，

解得

则f（x）=x2+3x+1．

（2）解：f（x）=x2+bx+c，﹣1≤x≤0，对称轴x=﹣ ，

若b≥2，则 ，则 ，

解得 ，此时f（x）=x2+2x，

若b≤0，则 ，则 ，

解得 ，此时f（x）=x2﹣1，

若0＜b≤1，则 ，则 ，

解得 （舍）或 （舍），

此时不存在函数f（x），若1＜b＜2，则 ，

则 ，解得 （舍）或 （舍），此时不存在函数f（x），

综上所述存在函数f（x）=x2﹣1和f（x）=x2+2x满足条件

（3）解：由f（x）=x2+bx+c得f（f（x））=f2（x）+bf（x）+c及c=f（x）﹣x2﹣bx，

由f（f（x））=x得到f2（x）+bf（x）+c=x，即f2（x）+bf（x）+f（x）﹣x2﹣bx=x，

整理得到f2（x）﹣x2+b（f（x）﹣x）+（f（x）﹣x）=0，

即（f（x）﹣x）（f（x）+x+b+1）=0①

即f（x）﹣x=0或f（x）+x+b+1=0，

即x2+（b﹣1）x+c=0②或x2+（b+1）x+b+c+1=0③

方程②的判别式△=（b﹣1）2﹣4c

方程③的判别式 ，

①若A≠，即f（x）﹣x=0有解，即x2+（b﹣1）x+c=0有解，即△≥0，则①有解，

即B≠，

②若A=，即△＜0，则△1＜0，②和③均无解，则①无解，即B=．

【解析】（1）求出函数的对称轴小于﹣1，得到关于b，c的方程组，解出即可；（2）求出f（x）的对称轴，通过讨论对称轴的位置，结合函数的值域求出b，c的值，从而求出f（x）的表达式即可；（3）通过整理方程得到x2+（b﹣1）x+c=0或x2+（b+1）x+b+c+1=0，结合二次函数的性质进行证明即可．
【考点精析】利用二次函数的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．