题目内容
已知M是正四面体ABCD棱AB的中点，N是棱CD的中点，则下列结论中，正确的个数有（ ）
（1）MN⊥AB；
（2）VA-MCD=VB-MCD；
（3）平面CDM⊥平面ABN；
（4）CM与AN是相交直线．
（1）MN⊥AB；
（2）VA-MCD=VB-MCD；
（3）平面CDM⊥平面ABN；
（4）CM与AN是相交直线．
| A．1个 | B．2个 | C．3个 | D．4个 |
（1）连接CM、DM
∵正△ABC中，M为AB的中点
∴CM⊥AB
同理DM⊥AB，结合MC∩MD=M
∴AB⊥平面CDM，而MN⊆平面CDM
∴MN⊥AB，故（1）是正确的；
（2）棱锥A-MCD与棱锥B-MCD的底面均为三角形MCD，
由（1）得AB⊥平面CDM，
且M为AB的中点，
则棱锥A-MCD与棱锥B-MCD的高AM=BM
故VA-MCD=VB-MCD；
故（2）正确；
（3）由（1）的证明知：AB⊥平面CDM
∵AB?平面ABN
∴平面ABN⊥平面CDM，故（3）正确；
（4）CM∩平面ACD=C
AN?平面ACD且C∉AN．
故CM与AN是异面直线
综上所述，正确的命题为（1）（2）（3）
故选C
∵正△ABC中，M为AB的中点
∴CM⊥AB
同理DM⊥AB，结合MC∩MD=M
∴AB⊥平面CDM，而MN⊆平面CDM
∴MN⊥AB，故（1）是正确的；
（2）棱锥A-MCD与棱锥B-MCD的底面均为三角形MCD，
由（1）得AB⊥平面CDM，
且M为AB的中点，
则棱锥A-MCD与棱锥B-MCD的高AM=BM
故VA-MCD=VB-MCD；
故（2）正确；
（3）由（1）的证明知：AB⊥平面CDM
∵AB?平面ABN
∴平面ABN⊥平面CDM，故（3）正确；
（4）CM∩平面ACD=C
AN?平面ACD且C∉AN．
故CM与AN是异面直线
综上所述，正确的命题为（1）（2）（3）
故选C
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