题目内容
已知函数f(x)=(
sinωx+cosωx)cosωx-
(ω>0)最小正周期为4π
(1)求f(x)的单调递增区间
(2)在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,满足(2a-c)cosB=bcosC,求函数f(2C)的取值范围.
3 |
1 |
2 |
(1)求f(x)的单调递增区间
(2)在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,满足(2a-c)cosB=bcosC,求函数f(2C)的取值范围.
(1)根据题意,可得
f(x)=(
sinωx+cosωx)cosωx-
=
sinωxcosωx+cos2ωx-
=
sin2ωx+
(1+cos2ωx)-
=
sin2ωx+
cos2ωx=sin(2ωx+
)
∵ω>0,f(x)的最小正周期为4π,
∴
=4π,解之得ω=
,得f(x)=sin(
x+
).
设-
+2kπ≤
x+
≤
+2kπ(k∈Z),可得-
+4kπ≤x≤
+4kπ(k∈Z)
∴f(x)的单调递增区间为[-
+4kπ,
+4kπ](k∈Z);
(2)∵(2a-c)cosB=bcosC,
∴根据正弦定理,得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,
即2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)
∵△ABC中,B+C=π-A,可得sin(B+C)=sin(π-A)=sinA>0
∴上式化简为2sinAcosB=sinA,得2cosB=1,即cosB=
∵B是三角形的内角,∴B=
∵f(2C)=sin(C+
),C∈(0,
)
∴当C=
时,f(2C)有最大值为1,而f(2C)的最小值大于sin(
+
)=
因此,可得f(2C)的取值范围是(
,1].
f(x)=(
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1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
=
| ||
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
| ||
2 |
1 |
2 |
π |
6 |
∵ω>0,f(x)的最小正周期为4π,
∴
2π |
2ω |
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4 |
1 |
2 |
π |
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设-
π |
2 |
1 |
2 |
π |
6 |
π |
2 |
4π |
3 |
4π |
3 |
∴f(x)的单调递增区间为[-
4π |
3 |
4π |
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(2)∵(2a-c)cosB=bcosC,
∴根据正弦定理,得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,
即2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)
∵△ABC中,B+C=π-A,可得sin(B+C)=sin(π-A)=sinA>0
∴上式化简为2sinAcosB=sinA,得2cosB=1,即cosB=
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2 |
∵B是三角形的内角,∴B=
π |
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∵f(2C)=sin(C+
π |
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2π |
3 |
∴当C=
π |
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2π |
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π |
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因此,可得f(2C)的取值范围是(
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