Question

在△ABC中，已知tanA=

1

2

，tanB=

1

3

，若△ABC最长边的长为1，则最短边的长为______．

Answer 1

∵tan45°=1，tanA=

1

2

，tanB=

1

3

，
∴tanB＜tanA＜tan45°，即B＜A＜45°，AC为最短边，
∴△ABC最大角为钝角C，最长边的长为AB=1，
根据题意画出图形，过C作CD⊥AB，交AB于点D，
由tanA=

CD

AD

=

1

2

，tanB=

CD

DB

=

1

3

，即AD=2CD，DB=3CD，
∴AB=AD+DB=5DC=1，即CD=

1

5

，
∵tanA=

1

2

，
∴cosA=

1 1+tan2A

=

2 5

5

，sinA=

1-cos2A

=

5

5

，
利用正弦定理得：

AC

sin∠ADC

=

CD

sinA

，即AC=

1 5 ×1

5 5

=

5

5

．
故答案为：

5

5