题目内容
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，过点D作AC的平行线DE交BA的延长线于E，AC交BD于F．（I）求证：△AFB≌△DFC；
（II）求证：DE•DC=AE•BD．
分析：（I）四边形ABCD为等腰梯形，可由∠ABD=∠DCA，∠BAC=∠CDB．又AB=DC，证出△AFB≌△DFC
（II）先证出△ADE∽△CBD，再得出DE•DC=AE•BD．
（II）先证出△ADE∽△CBD，再得出DE•DC=AE•BD．
解答：解：（I）∵四边形ABCD为等腰梯形，∴A、B、C、D四点共圆．
∴∠ABD=∠DCA，∠BAC=∠CDB．
又AB=DC，∴△AFB≌△DFC
（II）由A、B、C、D四点共圆及ED∥AC，知∠DBC=∠DAC=∠EDA，∠DCB=∠ABC=∠EAD，
∴△ADE∽△CBD，∴DE：BD=AE：CD，∴DE•DC=AE•BD．
∴∠ABD=∠DCA，∠BAC=∠CDB．
又AB=DC，∴△AFB≌△DFC
（II）由A、B、C、D四点共圆及ED∥AC，知∠DBC=∠DAC=∠EDA，∠DCB=∠ABC=∠EAD，
∴△ADE∽△CBD，∴DE：BD=AE：CD，∴DE•DC=AE•BD．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰梯形的性质．等腰梯形的两个腰相等、两条对角线相等．
练习册系列答案
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