Question

13．已知R为实数集，函数f（x）=lg（x²-2x-15）的定义域是集合M，集合P={x|（x-a）（x-8）≤0}．
（1）若M∪P=R，求实数a的取值范围；
（2）求实数a的取值范围，使它成为M∩P={x|5＜x≤8}的充要条件．

Answer 1

分析 （1）根据对数成立的条件求出函数的定义域，结合集合的关系建立不等式关系即可．
（2）根据集合的基本运算和关系，结合充要条件的定义进行求解即可．

解答 解：（1）由x²-2x-15＞0得x＞5或x＜-3，即函数的定义域为{x|x＞5或x＜-3}，
∵P={x|（x-a）（x-8）≤0}．
∴当a≥8时，不满足条件M∪P=R，
当a＜8时，P={x|（x-a）（x-8）≤0}=[a，8]，
若M∪P=R，则a≤-3．
（2）由M∩P={x|5＜x≤8}得，当a≥8时，不满足条件，
则a＜8，P={x|（x-a）（x-8）≤0}=[a，8]，
由M∩P={x|5＜x≤8}得-3≤a≤5，
即M∩P={x|5＜x≤8}的充要条件是[-3，5]．

点评 本题主要考查集合的基本运算，充要条件的应用，以及函数定义域的求解，根据集合的基本运算和关系建立不等式关系是解决本题的关键．