题目内容
【题目】在如图所示的几何体中,四边形是菱形,
,
为
的中点,
平面
,
.
(1)求证:平面平面
;
(2)若,
,且
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)通过证明平面与平面
都和直线
垂直可得;
(2) 以为原点
为
轴,
为
轴,过
与
垂直的直线为
轴,建立如图所示的空间直角坐标系,写出各点坐标,求出二面角两个面的法向量,由法向量的夹角得二面角(要判断二面角的范围).
(1)证明:∵四边形是菱形,
,
是等边三角形,又
为
的中点,∴
,而
,所以
,
又,
,∴
面ADE.
又平面
,
平面
,所以
,又
,所以
平面
,所以平面
平面
(2)由(1)平面平面
,
,则
到
的距离为1,所以
到平面
距离是1,以
为原点
为
轴,
为
轴,过
与
垂直的直线为
轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则
,
,所以
,
,
,
,
,
,
设平面的一个法向量是
,
则,取
,则
,
,即
,
同理可得面的一个法向量
,二面角
为锐二面角,
所以二面角的余弦值为
.
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