题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求函数
的单调区间;
(2)若函数在区间
上有唯一的极值点
,求
的取值范围,并证明:
.
【答案】(1)递增区间是,递减区间是
;(2)
,见解析
【解析】
(1)当时,求出函数
的定义域和导数,结合导数的取值的正负,即可求得函数
的单调区间;
(2)求得,令
,根据函数
在区间
上有唯一的极值点
,得出
在
上有唯一的解,根据
求得
的范围,再由由
,得到
,结合函数
的单调性和最值,即可求解.
(1)由题意,函数,
当时,函数
.
则,
令,即
且
,可得
,
令,即
,可得
.
所以当时,函数
的单调递增区间是
,单调递减区间是
.
(2)由函数,则
,
记,
因为在区间
上有唯一的极值点
,又
,
根据二次函数的图象分析可知,只需即可,即
,解得
,
所以实数的取值范围是
,
又由,可得
,
所以,
又由函数,可得
,
可得函数在
上单调递增,且
,
所以.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量,某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数(AQI)的检测数据,结果统计如表:
AQI | ||||||
空气质量 | 优 | 良 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 重度污染 |
天数 | 6 | 14 | 18 | 27 | 25 | 10 |
(1)从空气质量指数属于[0,50],(50,100]的天数中任取3天,求这3天中空气质量至少有2天为优的概率;
(2)已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y(单位:元)与空气质量指数x的关系式为,假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别为
.9月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替.
(i)记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X元,求X的分布列;
(ii)试问该企业7月、8月、9月这三个月因气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2.88万元?说明你的理由.