题目内容

数列{a_n}的前n项和记为S_n，且满足S_n=2a_n-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求和 $数学公式$ ；
（3）设有m项的数列{b_n}是连续的正整数数列，并且满足： $数学公式$ ．
问数列{b_n}最多有几项？并求这些项的和．

解：（1）由S_n=2a_n-1得S_n+1=2a_n+1-1，相减得a_n+1=2a_n+1-2a_n，即a_n+1=2a_n．
又S₁=2a₁-1，得a₁=1≠0，
∴数列{a_n}是以1为首项2为公比的等比数列，
∴a_n=2^n-1．
（2）由（1）知S_n=2^n-1，
∴S₁• $\text{[math]}$ +S₂• $\text{[math]}$ +S₃• $\text{[math]}$ +…+S_n+1• $\text{[math]}$
=（2¹-1）• $\text{[math]}$ +（2²-1）• $\text{[math]}$ +（2³-1）• $\text{[math]}$ +…+（2ⁿ⁺¹-1）• $\text{[math]}$
=2（ $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ +2² $\text{[math]}$ +…+2ⁿ $\text{[math]}$ ）-（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ）
=2（1+2）ⁿ-2ⁿ
=2•3ⁿ-2ⁿ
（3）由已知得2• $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ … $\text{[math]}$ =m-1．
又{b_n}是连续的正整数数列，
∴b_n=b_n-1+1．
∴上式化为 $\text{[math]}$ =m-1．
又b_m=b₁+（m-1），消b_m得mb₁-3b₁-2m=0．
m= $\text{[math]}$ =3+ $\text{[math]}$ ，由于m∈N^*，
∴b₁＞2，
∴b₁=3时，m的最大值为9．
此时数列的所有项的和为3+4+5+…+11=63
分析：（1）利用a_n+1=S_n+1-S_n，即可求得a_n+1=2a_n．，继而可证明数列{a_n}为等比数列，利用等比数列的概念即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）知S_n=2^n-1，将其代入S₁• $\text{[math]}$ +S₂• $\text{[math]}$ +S₃• $\text{[math]}$ +…+S_n+1• $\text{[math]}$ ，分组求和．利用二项式定理即可求得其结果；
（3）利用对数的性质可得到2• $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ … $\text{[math]}$ =m-1，利用{b_n}是连续的正整数数列，且满足上式，可化为 $\text{[math]}$ =m-1，利用b_m=b₁+（m-1），消b_m即可求得答案．
点评：本题考查二项式定理的应用，考查数列求和，考查数列递推式，突出考查创新思维与抽象逻辑思维的能力，属于难题．