题目内容
【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=nan+n(n﹣1),且a5是a2和a6的等比中项.
(Ⅰ)证明:数列{an}是等差数列并求其通项公式;
(Ⅱ)设,求数列{bn}的前n项和.
【答案】(Ⅰ)an=13﹣2n; (Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)将n换为n+1,相减,运用数列的递推式和等差数列的定义和通项公式,以及等比数列中项性质,可得首项和公差,进而得到所求通项;
(Ⅱ)求得(),由数列的裂项相消求和,化简可得所求和.
(Ⅰ)Sn=nan+n(n﹣1),
可得Sn+1=(n+1)an+1+n(n+1),
相减可得Sn+1﹣Sn=(n+1)an+1﹣nan+n(n+1)﹣n(n﹣1),
化简an+1=(n+1)an+1﹣nan+2n,
即为nan+1﹣nan=﹣2n,
即有an+1﹣an=﹣2,
则数列{an}是公差d为﹣2的等差数列,
a5是a2和a6的等比中项,可得,
即(a1﹣8)2=(a1﹣2)(a1﹣10),解得a1=11,则an=11﹣2(n﹣1)=13﹣2n;
(Ⅱ)(),
则数列{bn}的前n项和为()
().
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