Question

定义在R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=kx+b（k，b为常数），使得f（x）≥g（x）对一切实数x都成立，则称g（x）为f（x）的一个承托函数．现有如下命题：
①对给定的函数f（x），其承托函数可能不存在，也可能无数个；
②g（x）=2x为函数f（x）=2^x的一个承托函数；
③若函数g（x）=x-a为函数f（x）=ax²的承托函数，则a的取值范围是a≥

1

2

；
④定义域和值域都是R的函数f（x）不存在承托函数；
其中正确命题的序号是

①③

．

Answer 1

分析：对于①，若取f（x）=sinx，则g（x）=B（B＜-1），都满足，且有无数个，正确；对于②，当x=

3

2

时，②错；对于③，由函数g（x）=x-a为函数f（x）=ax²的承托函数，知ax²≥x-a对一切实数x都成立，由此能求出a的范围．对于④，如取f（x）=2x+3，即可看出其不符合，故错．

解答：解：对于①，若f（x）=sinx，
则g（x）=B（B＜-1），就是它的一个承托函数，且有无数个，
再如y=tanx，y=lgx就没有承托函数，故命题①正确；
对于②，∵当x=

3

2

时，g（

3

2

）=3，f（

3

2

）=2

2

=

8

，
∴f（x）＜g（x），
∴g（x）=2x不是f（x）=2^x的一个承托函数，故错误；
对于③，∵函数g（x）=x-a为函数f（x）=ax²的承托函数，
∴ax²≥x-a对一切实数x都成立，
∴

a＞0 △=1-4a2≤0

，
解得a≥

1

2

．故正确；
对于④，如f（x）=2x+3存在一个承托函数y=2x+1，故错误；
故答案为：①③．

点评：本题是以抽象函数为依托，考查学生的阅读的能力，没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．