Question

4．在三棱锥C-ABD中（如图），△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，AB=4，二面角A-BD-C的大小为60°，并给出下面结论：
①AC⊥BD；  
②AD⊥CO；
③△AOC为正三角形；   
④cos∠ADC=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$；
⑤四面体ABCD的外接球表面积为32π，
其中真命题是①③⑤．

Answer 1

分析 ①由△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，可得CO⊥BD，AO⊥BD，BD⊥平面AOC，即可判断出正误；
②假设CO⊥AD，可得CO⊥平面ABD，由①可得：∠AOC是二面角A-BD-C的平面角且为60°矛盾，即可判断出正误；
③由已知可得：OC=OA，而∠AOC是二面角A-BD-C的平面角且为60°，即可判断出△AOC为正三角形；
④AB=4，由①可得：AC=OA=2$\sqrt{2}$，AD=CD=4，利用余弦定理可得cos∠ADC，即可判断出正误；
⑤由①可得：四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为2$\sqrt{2}$，利用表面积公式即可判断出正误．

解答 解：对于①，∵△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，∴CO⊥BD，AO⊥BD，AO∩OC=O，∴BD⊥平面AOC，∴AC⊥BD，因此①正确；
对于②，假设CO⊥AD，又CO⊥BD，可得CO⊥平面ABD，由①可得：∠AOC是二面角A-BD-C的平面角且为60°矛盾，因此不正确；
对于③，由△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，∴OC=OA，由①可得：∠AOC是二面角A-BD-C的平面角且为60°，∴△AOC为正三角形，因此③正确；
对于④，AB=4，由①可得：AC=OA=2$\sqrt{2}$，AD=CD=4，∴cos∠ADC=$\frac{2×{4}^{2}-（2\sqrt{2}）^{2}}{2×{4}^{2}}$=$\frac{3}{4}$≠$\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此不正确；
对于⑤，由①可得：四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为2$\sqrt{2}$，表面积S=$4π×（2\sqrt{2}）^{2}$=32π，因此正确．
综上可得：只有①③⑤正确．
故答案为：①③⑤．

点评 本题考查了空间线面位置关系、二面角、等边三角形、余弦定理、球的表面积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．