题目内容
【题目】设O为坐标原点，点P的坐标（x﹣2，x﹣y）
（1）在一个盒子中，放有标号为1，2，3的三张卡片，现从此盒中有放回地先后抽到两张卡片的标号分别记为x，y，求|OP|的最大值，并求事件“|OP|取到最大值”的概率；
（2）若利用计算机随机在[0，3]上先后取两个数分别记为x，y，求P点在第一象限的概率．
【答案】
（1）解：记抽到的卡片标号为（x，y），所有的情况分别为，
（x，y） | （1，1） | （1，2） | （1，3） | （2，1） | （2，2） | （2，3） | （3，1） | （3，2） | （3，3） |
P（x﹣2，x﹣y） | （﹣1，0） | （﹣1，﹣1） | （﹣1，﹣2） | （0，1） | （0，0） | （0，﹣1） | （1，2） | （1，1） | （1，0） |
|OP| | 1 |
|
| 1 | 0 | 1 |
|
| 1 |
共9种．由表格可知|OP|的最大值为 
设事件A为“|OP|取到最大值”，则满足事件A的（x，y）有（1，3），（3，1）两种情况，
∴ 
（2）解：设事件B为“P点在第一象限”
若 
，其所表示的区域面积为3×3=9，
由题意可得事件B满足 
，
即如图所示的阴影部分，
其区域面积为 
∴ 
【解析】（1）记先后抽到的两张卡片的标号为（x，y），列出所有情形，然后分别求出|OP|的值，从而得到最大值；（2）求出点P落在第一象限所构成区域的面积，然后求出基本事件空间所表示的区域的面积，计算出二者的比值即可．
【题目】在测试中，客观题难度的计算公式为
，其中
为第
题的难度， 
为答对该题的人数， 
为参加测试的总人数．现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题，测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表所示：
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
考前预估难度 | 0.9 | 0.8 | 0.7 | 0.6 | 0.4 |
测试后，从中随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如表：
（Ⅰ）根据题中数据，估计中240名学生中第5题的实测答对人数；
（Ⅱ）从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为
，求
的分布列和数学期望；
（Ⅲ）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差．设
为第
题的实测难度，请用
和
设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理．
