Question

已知定义域为R的函数f（x）对任意的x，y∈R，f（x）≠0，且f（x+y）=f（x）f（y）
（1）求f（0）的值；
（2）若f（x）为单调函数，f（1）=2，向量

a

=(

2

cos

θ

2

，1)，

b

=(

2

λsin

θ

2

，cos2θ)，是否存在实数λ，对任意θ∈[0，2π)，f(

a

•

b

)-f(3)≤0恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）对任意的x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y），令x=y=0可得f（0）．
（2）已知f（x）为单调函数，由（1）知f（0）=0，再由已知等式求出f（1）=2，判断出f（x）为增函数，求出

a

•

b

代入不等式，利用单调性去掉f，得到关于sinθ的一元二次方程，令t=sinθ换元，得到关于t的二次方程，由θ范围，求出sinθ范围，也就是t的范围，问题就转化为在定区间上二次函数的最值，因为对称轴不确定，要求最小值，分三种情况讨论，得到三个范围，取并就是λ的取值范围．

解答：解：（1）令x=y=0得，f（0）=f（0）f（0），
∵f（x）≠0，∴f（0）=1．
（2）∵f（0）=1，f（1）=2，且f（x）为单调函数，
∴f（x）是增函数，
∵

a

•

b

=λsinθ+cos²θ，f（

a

•

b

）-f（3）≤0
∴f（λsinθ+cos²θ）≤f（3）
又∵f（x）是增函数，
∴对任意θ∈[0，2π），λsinθ+cos²θ≤3恒成立，
即sin²θ-λsinθ+2≥0恒成立，…（*）
令t=sinθ，得t²-λt+2≥0
∵θ∈[0，2π），∴-1≤sinθ≤1，即-1≤t≤1，
令h（t）=t²-λt+2=(t-

λ

2

)2+2-

λ2

4

（-1≤t≤1），
①当

λ

2

＜-1时，即λ＜-2时，只要h（-1）≥0，则（*）恒成立，
∵h（-1）=λ+3≥0，∴-3＜λ＜-2；
②当-1≤

λ

2

≤1时，即-2≤λ≤2时，只要h（

λ

2

）≥0，则（*）恒成立，
∵h（

λ

2

）=2-

λ2

4

≥0，∴-2

2

≤λ≤2

2

，
∴-2≤λ≤2；
③当

λ

2

＞1时，即λ＞2时，只要h（1）≥0，则（*）恒成立，
∵h（1）=3-λ≥0，∴∴2＜λ≤3；
综上：存在-3≤λ≤3，满足题目要求．

点评：本题涉及到抽象函数求函数值，向量的数量积运算，二次函数定区间上求最小值，在二次函数对称轴不确定的情况下，要按对称轴在区间左边，中间，右边三种情况分类，分别求得最小值．用到分类讨论和转化化归的思想．