题目内容

已知椭圆C:的离心率等于,点P在椭圆上。
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的左右顶点分别为,过点的动直线与椭圆相交于两点,是否存在定直线,使得的交点总在直线上?若存在,求出一个满足条件的值;若不存在,说明理由.
(1);(2)存在,.

试题分析:(1)由,点代入椭圆方程,二者联立可以解出;(2)以的存在性分两种情况:①不存在,直线:,易证符合题意;②存在时,设直线:,用直线方程和椭圆方程联立方程组,消参得一元二次方程,利用韦达定理得,,又因为共线,有,由,得出,由于成立,所以点在直线上,综上:存在定直线:,使得的交点总在直线上,的值是.
试题解析:(1)由,               2分
又点在椭圆上,,              4分
所以椭圆方程是:;                       5分
(2)当垂直轴时,,则的方程是:
的方程是:,交点的坐标是:,猜测:存在常数,
即直线的方程是:使得的交点总在直线上,         6分
证明:设的方程是,点
的方程代入椭圆的方程得到:
即:,                  7分
从而:,                 8分
因为:共线
所以:,                  9分

要证明共线,即要证明,            10分
即证明:
即:
即:
因为:成立,       12分
所以点在直线上。
综上:存在定直线:,使得的交点总在直线上,的值是.  13分
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