Question

（本题满分14分）
已知是函数的一个极值点，且函数的图象在处的切线的斜率为2.
（Ⅰ）求函数的解析式并求单调区间.（5分）
（Ⅱ）设，其中，问：对于任意的,方程在区间上是否存在实数根？若存在，请确定实数根的个数.若不存在，请说明理由.（9分）

Answer 1

（I），单调增区间是，单调减区间是；
（Ⅱ）对于任意的,方程在区间上均有实数根且当时,有唯一的实数解；当时,有两个实数解。

试题分析：（Ⅰ）由x=0是函数f（x）=（x²+ax+b）e^x（x∈R）的一个极值点，f^′（0）=0，得到关于a，b的一个方程，函数f（x）的图象在x=2处的切线的斜率为2e²，f^′（2）=2e²；得到一个关于a，b的一个方程，解方程组求出a，b即可；
（Ⅱ）把求得的f′（x）代入g（x），方程g（x）=（m-1）²在区间（-2，m）上是否存在实数根，转化为求函数g（x）在区间（-2，m）上的单调性、极值、最值问题．
解：（I）………………1分
由……………………2分
又，故………3分
令得或
令得………………4分
故，单调增区间是，单调减区间是……5分.
（Ⅱ）解:假设方程在区间上存在实数根
设是方程的实根，,………………6分
令,从而问题转化为证明方程=0
在上有实根,并讨论解的个数……………………7分
因为，,
所以 ①当时,,所以在上有解,且只有一解.…………………………9分
②当时,,但由于,
所以在上有解,且有两解 ……………………………10分
③当时,,所以在上有且只有一解；
当时,,
所以在上也有且只有一解…………………………………12分
综上, 对于任意的,方程在区间上均有实数根且当时,有唯一的实数解；当时,有两个实数解……14分
点评：解决该试题的关键是方程根的个数问题转化为求函数的最值问题，并能利用导数的几何意义求解切线方程问题。