题目内容
【题目】已知向量 、 满足| |=1,| |=2,则| + |+| ﹣ |的最小值是 , 最大值是 .
【答案】4;
【解析】解:记∠AOB=α,则0≤α≤π,如图,
由余弦定理可得:
| + |= ,
| ﹣ |= ,
令x= ,y= ,
则x2+y2=10(x、y≥1),其图象为一段圆弧MN,如图,
令z=x+y,则y=﹣x+z,
则直线y=﹣x+z过M、N时z最小为zmin=1+3=3+1=4,
当直线y=﹣x+z与圆弧MN相切时z最大,
由平面几何知识易知zmax即为原点到切线的距离的 倍,
也就是圆弧MN所在圆的半径的 倍,
所以zmax= × = .
综上所述,| + |+| ﹣ |的最小值是4,最大值是 .
所以答案是:4、 .
【考点精析】通过灵活运用函数的最值及其几何意义和余弦定理的定义,掌握利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;利用图象求函数的最大(小)值;利用函数单调性的判断函数的最大(小)值;余弦定理:;;即可以解答此题.
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