题目内容

(本小题满分14分)如图所示,椭圆的离心率为,且A(0,1)是椭圆C的顶点。       

(1)求椭圆C的方程;

(2)过点A作斜率为1的直线,设以椭圆C的右焦点F为抛物线的焦点,若点M为抛物线E上任意一点,求点M到直线距离的最小值。

 

 

 

 

【答案】

解:(1)由题意可知,   1分

   

    即   3分

    所以椭圆C的方程为:   4分

   (2)方法一:由(1)可求得椭圆C的右焦点坐标F(1,0)   6分

    抛物线E的方程为:

    而直线的方程为

    设动点M为,则点M到直线的距离为   8分

       13分

    即抛物线E上的点到直线距离的最小值为   14分

    方法二:由(1)可求得椭圆C的右焦点坐标F(1,0)   6分

    抛物线E的方程为:

    而直线的方程为

    可设与直线平行且抛物线E相切的直线方程为:   8分

    由

    可得:   9分

   

    解得:

    直线方程为:   11分

    抛物线上的点到直线的距离的最小值等于直线的距离:

       13分

    即抛物线E上的点到直线距离的最小值为   14分

 

【解析】略

 

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