Question

18．已知函数f（x）=1-2sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx．
（1）求函数f（x）在[0，2π]上的单调递减区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若f（$\frac{C}{2}$）=2且sin²C=sinA•sinB，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 （1）先利用二倍角公式，再利用辅助角公式化简函数，利用正弦函数的单调性，即可求得f（x）在[0，π]上的单调递减区间．
（2）由已知解得：sin（C+$\frac{π}{6}$）=1，结合范围0＜C＜π，可求C，又sin²C=sinA•sinB，由正弦定理可得：c²=ab，由余弦定理可得（a-b）²=0，解得a=b，可得三角形为等腰三角形．

解答 解：（1）∵f（x）=1-2sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx
=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z可解得单调递减区间为：[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z，
∵x∈[0，2π]，
∴函数f（x）在[0，2π]上的单调递减区间：[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]．
（2）∵f（$\frac{C}{2}$）=2sin（C+$\frac{π}{6}$）=2，解得：sin（C+$\frac{π}{6}$）=1，
又∵0＜C＜π，$\frac{π}{6}$＜C+$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，
∴解得：C+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即C=$\frac{π}{3}$．
∵sin²C=sinA•sinB，
∴由正弦定理可得：c²=ab，
∴由余弦定理：c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab，可得2c²=a²+b²．
∴2ab=a²+b²．即：（a-b）²=0，
∴解得：a=b，
故三角形为等腰三角形．

点评 本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，解题的关键是正确化简函数，属于中档题．