题目内容

设函数f(x)=,g(x)=ln(2ex)(其中e为自然对数的底数)
(1)求y=f(x)-g(x)(x>0)的最小值;
(2)是否存在一次函数h(x)=kx+b使得f(x)≥h(x)且h(x)≥g(x)对一切x>0恒成立;若存在,求出一次函数的表达式,若不存在,说明理由:
3)数列{}中,a1=1,=g()(n≥2),求证:<1且

(1)最小值0;(2)见解析;(3)见解析.

解析试题分析:(1)利用导数求解即可;(2)假设存在,然后利用导数求出最小值判断即可;(3)先证递减且由(2)知,又上递增,所以当时,总有,即也成立,然后利用数学归纳法证明.
试题解析:(1)
易知
所以上递减,而在上递增                   2分
时,取最小值0                          3分
(2)由(1)可知,
所以若存在一次函数使得
总成立,则,即
所以可设,代入恒成立,
所以,所以
此时设,则
易知上递减,在上递增,
所以,即对一切恒成立;
综上,存在一次函数符合题目要求                          6分
(3)先证递减且
由(2)知,又上递增,所以当时,
总有,即也成立
下面用数学归纳法证明
(1)时,因为,所以成立;
(2)假设时,结论成立,即
由于时,,又上递增,
,即也成立
由(1)(2)知,恒成立;而
所以递减
综上所述

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