题目内容
设函数f(x)=+,g(x)=ln(2ex)(其中e为自然对数的底数)
(1)求y=f(x)-g(x)(x>0)的最小值;
(2)是否存在一次函数h(x)=kx+b使得f(x)≥h(x)且h(x)≥g(x)对一切x>0恒成立;若存在,求出一次函数的表达式,若不存在,说明理由:
3)数列{}中,a1=1,=g()(n≥2),求证:<<<1且<.
(1)最小值0;(2)见解析;(3)见解析.
解析试题分析:(1)利用导数求解即可;(2)假设存在,,,然后利用导数求出最小值判断即可;(3)先证递减且由(2)知时,又在上递增,所以当时,总有,即也成立,然后利用数学归纳法证明.
试题解析:(1)
易知时,时
所以在上递减,而在上递增 2分
故时,取最小值0 3分
(2)由(1)可知,
所以若存在一次函数使得
且总成立,则,即;
所以可设,代入得恒成立,
所以,所以,,
此时设,则,
易知在上递减,在上递增,
所以,即对一切恒成立;
综上,存在一次函数符合题目要求 6分
(3)先证递减且
由(2)知时,又在上递增,所以当时,
总有,即也成立
下面用数学归纳法证明
(1)时,因为,所以成立;
(2)假设时,结论成立,即
由于时,,又在上递增,
则,即也成立
由(1)(2)知,恒成立;而时
所以递减
综上所述
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