题目内容
已知函数,
,其中
且
.
(Ⅰ)当,求函数
的单调递增区间;
(Ⅱ)若时,函数
有极值,求函数
图象的对称中心坐标;
(Ⅲ)设函数 (
是自然对数的底数),是否存在a使
在
上为减函数,若存在,求实数a的范围;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)单调增区间是
,
;(II)
;(III)
解析试题分析:(Ⅰ) 为确定函数的单调区间,往往遵循“求导数、求驻点、分区间讨论导数的正负、确定函数的单调性”等步骤.
(Ⅱ)为确定函数的极值,往往遵循“求导数、求驻点、分区间讨论导数的正负、确定函数的极值”等步骤.
本小题根据函数有极值,建立的方程,求得
,从而得到
.根据
的图象可由
的图象向下平移4个单位长度得到,而
的图象关于
对称,
得到函数的图象的对称中心坐标.
(Ⅲ)假设存在a使在
上为减函数,通过讨论导函数为负数,得到
的不等式,达到解题目的.
试题解析: (Ⅰ) (Ⅰ) 当,
, 1分
设,即
,
所以,或
, 2分
单调增区间是
,
; 4分
(Ⅱ)当时,函数
有极值,
所以, 5分
且,即
, 6分
所以,
的图象可由
的图象向下平移4个单位长度得到,而
的图象关于
对称, 7分
所以的图象的对称中心坐标为
; 8分
(Ⅲ)假设存在a使在
上为减函数,
设,
,
, 9分
设,
当在
上为减函数,则
在
上为减函数,
在
上为减函数,且
. 10分
由(Ⅰ)知当时,
的单调减区间是
,
由得:
,
解得:, 11分
当在
上为减函数时,对于
,
即
恒成立,
因为,
(1)当时,
在
上是增函数,在
是减函数,
所以在
上最大值为
,
故,
即,或
,故
; 12分
(2)当时,
在
上是增函数,在
是减函数,
所以在
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