Question

已知函数，，其中且．
(Ⅰ)当，求函数的单调递增区间；
(Ⅱ)若时，函数有极值，求函数图象的对称中心坐标；
（Ⅲ）设函数 （是自然对数的底数），是否存在a使在上为减函数，若存在，求实数a的范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(Ⅰ)单调增区间是，；(II);（III）

解析试题分析：(Ⅰ) 为确定函数的单调区间，往往遵循“求导数、求驻点、分区间讨论导数的正负、确定函数的单调性”等步骤.
(Ⅱ)为确定函数的极值，往往遵循“求导数、求驻点、分区间讨论导数的正负、确定函数的极值”等步骤.
本小题根据函数有极值，建立的方程，求得，从而得到.根据的图象可由的图象向下平移4个单位长度得到，而的图象关于对称，
得到函数的图象的对称中心坐标.
（Ⅲ）假设存在a使在上为减函数，通过讨论导函数为负数，得到的不等式，达到解题目的.
试题解析： (Ⅰ) (Ⅰ) 当，，  1分
设，即，
所以，或，  2分
单调增区间是，；  4分
(Ⅱ)当时，函数有极值，
所以，  5分
且，即，  6分
所以，
的图象可由的图象向下平移4个单位长度得到，而的图象关于对称，  7分
所以的图象的对称中心坐标为；  8分
（Ⅲ）假设存在a使在上为减函数，
设，
，
，  9分
设，
当在上为减函数，则在上为减函数，在上为减函数，且．  10分
由（Ⅰ）知当时，的单调减区间是，
由得：，
解得：，  11分
当在上为减函数时，对于，即恒成立，
因为，
（1）当时，在上是增函数，在是减函数，
所以在上最大值为，
故，
即，或，故；  12分
（2）当时，在上是增函数，在是减函数，
所以在