Question

已知 ().
（Ⅰ）当时,判断在定义域上的单调性；
（Ⅱ）若在上的最小值为,求的值；
（Ⅲ）若在上恒成立，试求的取值范围.

Answer 1

（1）单调递增；（2）；（3）.

解析试题分析：（1）判断函数的单调性常用作差比较法、导函数法.其共同点都是与0比大小确定单调性.也可以利用基本初等函数的单调性来判断：当时，因为与在上都是单调递增，所以 （）在定义域上单调递增；（2）利用导函数法求闭区间上的最值，首先要求出极值，然后再与两个端点函数值比较得出最值；既要灵活利用单调性，又要注意对字母系数进行讨论；（3）解决“恒成立”问题，常用分离参数法，转化为求新构造函数的最值（或值域）.
试题解析：(1)由题意得，且                               1分
显然，当时，恒成立，在定义域上单调递增；                3分
(2)当时由（1）得在定义域上单调递增，
所以在上的最小值为，     4分
即（与矛盾，舍）；                         5分
当，显然在上单调递增，最小值为0，不合题意；           6分
当，，
                              7分
若（舍）；
若（满足题意）；
（舍）；     8分    
综上所述．    9分
(3)若在上恒成立，即在上恒成立,(分离参数求解)
等价于在恒成立，令.
则；      10分
令，则
显然当时，在上单调递减,,
即恒成立,说明在单调递减,；    11分     
所以.   12分
考点：函数的单调性、导数及其应用