Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，na_n+1=（n+1）a_n+cn（n+1）（c为常数）
（1）证明：{

an

n

}是等差数列；
（2）问是否存在正整数p、q（p±q）使a_p=a_q成立？若存在，请写出C满足的条件，若不存在，说明理由．
（3）设bn=(

1

2

)nan，若当n≥4，数列{b_n}为递数列，试求c的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据na_n+1=（n+1）a_n+cn（n+1）化简变形，然后根据等差数列的定义进行判定{

an

n

}是等差数列即可；
（2）先根据（1）求数列{b_n}的通项公式，由数列{b_n}为递减数列，可得到b_n+1-b_n＜0对任意的n∈N^*恒成立，通过n=1、2、3分别求出c的范围，再由根据函数的单调性求出的c的范围与上面求出的c的范围矛盾，得到实数c不存在．
（3）若要使存在正整数p，q（p≠q）使a_p=a_q成立，则p+p（p-1）c=p+q（q-1）c，然后求出c的值．

解答：解：（1）∵na_n+1=（n+1）a_n+cn（n+1）
∴

an+1

n+1

=

an

n

+c，即

an+1

n+1

-

an

n

=c
从而数列{

an

n

}是首项为1，公差为c的等差数列
（2）若要使存在正整数p，q（p≠q）使a_p=a_q成立，
则p+p（p-1）c=p+q（q-1）c
∴p+q=1-

1

c

，又p+q≥3
令p+q=k（k∈N且k≥3），则c=

1

1-k

（k∈N且k≥3）．
（3）bn=(

1

2

)nan=

cn2+(1-c)n

2n

∵数列{b_n}为递减数列
∴bn+1-bn=

c(n+1)2+(1-c)(n+1)

2n+1

-

cn2+(1-c)n

2n

=

-c(n+1)2+(3c-1)n+1

2n+1

＜0对任意的n∈N^*恒成立
∴-cn²+（3c-1）n+1＜0，即c（3n-n²）＜n-1①
当n=1时，由①得c＜0
当n=2时，由①得c＜

1

2

当n=3时，由①得c∈R
当n≥4时，c＞

n-1

3n-n2

设f（x）=

x-1

3x-x2

(x≥4)，则f′（x）=

x2-2x+3

(3x-x2)2

=

(x-1)2+2

(3x-x2)2

＞0
∴f（x）在[4，+∞）上是增函数，从而-

3

4

≤f(x)＜0
∴c≥0
综上可知，满足条件的实数c不存在．

点评：本题主要考查了等差数列的判定，构造法求出函数的导数，判断函数的单调性，以及新数列是等差数列的充分不必要条件，同时考查了计算能力，注意p+q的范围，属于中档题．