Question

1．设函数f（x）=|x-4|+|x-a|（a＞1），且f（x）的最小值为3．
（1）求a的值；
（2）若f（x）≤5，求满足条件的x的集合．

Answer 1

分析 （1）由条件利用绝对值的意义可得|a-4|=3，再结合a＞1，可得a的值．
（2）把f（x）≤5等价转化为的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．

解答 解：（1）函数f（x）=|x-4|+|x-a|表示数轴上的x对应点到4、a对应点的距离之和，它的最小值为|a-4|=3，
再结合a＞1，可得a=7．
（2）f（x）=|x-4|+|x-7|=$\left\{\begin{array}{l}{-2x+11，x＜4}\\{3，4≤x≤7}\\{2x-11，x＞7}\end{array}\right.$，故由f（x）≤5可得，
 $\left\{\begin{array}{l}{x＜4}\\{-2x+11≤5}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{4≤x≤7}\\{3≤5}\end{array}\right.$②，或 $\left\{\begin{array}{l}{x＞7}\\{2x-11≤5}\end{array}\right.$ ③．
解①求得3≤x＜4，解②求得4≤x≤7，解③求得7＜x≤8，
所以不等式的解集为[3，8]．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，属于基础题．