题目内容
【题目】(本小题满分12分)已知函数是自然对数的底数,
.
(1)求函数的单调递增区间;
(2)若为整数,
,且当
时,
恒成立,其中
为
的导函数,求
的最大值.
【答案】(1)当时,
的增区间为
;当
时,
的增区间为
;(2)2.
【解析】试题分析:(1)求单调增区间,只要解不等式,它的解集区间就是所求增区间;(2)不等式
恒成立,不等式具体化为
,由于
,因此又可转化为
,这样
小于
的最小值,因此下面只要求
的最小值.
,接着要讨论
的零点,由于
在
上单调递增,且
,因此
在
上有唯一零点,即
在
上存在唯一的零点,设其为
,则
,可证得
为最小值,
,从而整数
的最大值为2.
试题解析:(1).
若,则
恒成立,所以,
在区间
上单调递增.........2分
若,当
时,
,
在
上单调递增.
综上,当时,
的增区间为
;当
时,
的增区间为
..... 4分
(2)由于,所以,
当时,
,故
————① 6分
令,则
函数在
上单调递增,而
所以在
上存在唯一的零点,
故在
上存在唯一的零点. 8分
设此零点为,则
.
当时,
;当
时,
;
所以,在
上的最小值为
.由
可得
10分
所以,由于①式等价于
.
故整数的最大值为2. 12分
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【题目】某校计划面向高一年级1240名学生开设校本选修课程,为确保工作的顺利实施,按性别进行分层抽样,现抽取124名学生对社会科学类、自然科学类这两大类校本选修课程进行选课意向调查,其中男生有65人.在这124名学生中选修社会科学类的男生有22人、女生有40人.
(1)根据以上数据完成下列列联表;
(2)判断能否有99.9%的把握认为科类的选修与性别有关?
附: ,其中
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
【题目】随着智能手机的发展,微信越来越成为人们交流的一种方式,某机构对使用微信交流的态度进行调查,随机调查了50人,他们年龄的频数分布及对使用微信交流赞成人数如表:
年龄(岁) | ||||||
频数 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
赞成人数 | 5 | 10 | 12 | 7 | 2 | 1 |
(1)由以上统计数据填写下面列联表,并判断是否有99%的把握认为年龄45岁为分界点对使用微信交流的态度有差异;
年龄不低于45岁的人 | 年龄低于45岁的人 | 合计 | |
赞成 | |||
不赞成 | |||
合计 |
(2)若对年龄分别在,
的被调查人中各抽取一人进行追踪调查,求选中的2人中至少有一人赞成使用微信交流的概率.
参考公式: ,其中
参考数据:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |