题目内容

已知直线x-2y+4=0经过椭圆 $数学公式$ 的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点P是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AP，BP与直线l：x=5分别交于M，N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求线段MN的长度的最小值；
（3）当线段MN的长度最小时，Q点在椭圆上运动，记△BPQ的面积为S，当S在（0，+∞）上变化时，讨论S的大小与Q点的个数之间的关系．

解：（1）由已知得椭圆C的左顶点为A（-4，0），上顶点为D（0，2），
∴a=4，b=2，
故椭圆C的方程为 $\text{[math]}$
（2）直线AP的斜率k显然存在，且k＞0，故可设直线AP的方程为y=k（x+4），从而M（5，9k），设P（x₀，y₀），则 $\text{[math]}$ ，∴直线BP的方程为： $\text{[math]}$ ，
得 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
当且仅当 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ 时等号成立
∴ $\text{[math]}$ 时，线段MN的长度取最小值3．
（3）由（2）知，当线段MN的长度取最小值时， $\text{[math]}$ ，此时直线BP的方程为 $\text{[math]}$
设与BP平行的直线l'：3x+2y+t=0
联立 $\text{[math]}$ 得10x²+6tx+t²-16=0
由△=36t²-40（t²-16）=0得 $\text{[math]}$
当 $\text{[math]}$ 时，BP与l'的距离为 $\text{[math]}$ ，此时S_△BPQ= $\text{[math]}$
当 $\text{[math]}$ 时，BP与l'的距离为 $\text{[math]}$ ，此时S_△BPQ= $\text{[math]}$
∴当 $\text{[math]}$ 时，这样的Q点有4个
当 $\text{[math]}$ 时，这样的Q点有3个
当 $\text{[math]}$ 时，这样的Q点有2个
当 $\text{[math]}$ 时，这样的Q点有1个
当 $\text{[math]}$ 时，这样的Q点不存在．
分析：（1）由已知得，椭圆C的左顶点为A（-4，0），上顶点为D（0，2），由此能求出椭圆C的方程．
（2）线AP的斜率k显然存在，且k＞0，故可设直线AP的方程为y=k（x+4），从而M（5，9k）．由题设条件可以求出 $\text{[math]}$ ，求得|MN|，再由均值不等式进行求解．
（3）由（2）知，当线段MN的长度取最小值时， $\text{[math]}$ ，设与BP平行的直线l'：3x+2y+t=0
联立 $\text{[math]}$ 得10x²+6tx+t²-16=0，利用△=36t²-40（t²-16）=0得 $\text{[math]}$ 最后即可解决问题．
点评：本题考查椭圆与直线的位置关系，（3）解答关系是利用方程的思想转化成根的判别等于0的问题，另外解题时要注意公式的灵活运用．