Question

已知函数的定义域为[－2，t](t>－2)，
（Ⅰ）试确定t的取值范围，使得函数在[－2，t]上为单调函数；
（Ⅱ）求证：对于任意的t>－2，总存在∈(－2，t)，满足，
并确定这样的的个数.

Answer 1

（1）－2<t≤0（2）略

(1) 因为f′(x)＝(x²－3x＋3)·e^x＋(2x－3)·e^x＝x(x－1)·e^x，
由f′(x)>0⇒x>1或x<0；由f′(x)<0⇒0<x<1，
所以f(x)在(－∞，0)，(1，＋∞)上递增，在(0,1)上递减.
若f(x)在[－2，t]上为单调函数，则－2<t≤0
(2)证明：因为，所以 即为x－x₀＝(t－1)²，
令g(x)＝x²－x－(t－1)²，从而问题转化为证明方程
g(x)＝x²－x－(t－1)²＝0在(－2，t)上有解，并讨论解的个数.
因为g(－2)＝6－(t－1)²＝－(t＋2)(t－4)，
g(t)＝t(t－1)－(t－1)²＝(t＋2)(t－1)，
①当t>4或－2<t<1时，g(－2)·g(t)<0，
所以g(x)＝0在(－2，t)上有解，且只有一解；
②当1<t<4时，g(－2)>0且g(t)>0，但由于g(0)＝－(t－1)²<0，
所以g(x)＝0在(－2，t)上有解，且有两解；
③当t＝1时，g(x)＝x²－x＝0⇒x＝0或x＝1，
所以g(x)＝0在(－2，t)上有且只有一解；
当t＝4时，g(x)＝x²－x－6＝0⇒x＝－2或x＝3，
所以g(x)＝0在(－2,4)上也有且只有一解.
综上所述，对于任意的t>－2，总存在x₀∈(－2，t)，满足 且当t≥4或－2<t≤1时，有唯一的x₀适合题意；当1<t<4时，有两个x₀适合题意.