题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系
中，已知椭圆
：
，设
是椭圆上任一点，从原点
向圆
：
作两条切线，分别交椭圆于点
，
.
（1）若直线
，
互相垂直，且圆心落在第一象限，求圆的圆心坐标；
（2）若直线，的斜率都存在，并记为
，
.
①求证：
；
②试问
是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）
（2）①证明见解析②
．
【解析】
（1）根据题意可知，
，又点
在椭圆上，列出方程即可求出；
（2）①设过点
且与圆相切的切线方程为
，根据直线与圆相切可列出关于
的一元二次方程，根据韦达定理即可求出
，即可证出；
②联立直线与椭圆方程，即可求出
，从而得到
，由①所得结论即可求出．
（1）设直线
，
分别与圆相切于点
，由几何知识可知，四边形
为正方形，所以，又点在椭圆上，即
，
，解得
，
而圆心落在第一象限，所以
，故圆的圆心坐标为．
（2）①设过点且与圆相切的切线方程为，所以
，化简得，
，所以直线，的斜率
，
为方程的两根，
即
，而可得
，所以
，
即
．
②由
解得
，
，所以
，
同理可得，
，故
由①知，
，代入上式可得，
．
故为定值，．
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