题目内容

定义在R上的函数f（x），当0≤x1＜x2≤1时，f（x1）≤f（x2），且满足下列条件：①f（1）=1，②f(
1
2
-x)+f(
1
2
+x)=1，③2f（x）=f（5x）、则f(
1
2010
)等于（　　）
A、
1
16
B、
1
32
C、
1
64
D、
1
2010
分析：由条件求出f（
1
2
），将条件③转化为f（
x
5
）=
1
2
f（x），重复使用此等式可得f（
1
3125
）=
1
32
，再重复使用此等式可得f（
1
1250
）=
1
32
，当0≤x1＜x2≤1时，f（x1）≤f（x2），而
1
3125
≤
1
2010
≤
1
1250
，f（
1
3125
）≤f（
1
2010
）≤f（
1
1250
），
可得所求的值．
解答：解：函数f（x）在[0，1]上是单调增函数，∵①f（1）=1，②f(
1
2
-x)+f(
1
2
+x)=1，
令x=
1
2
得，f（0）=0，令x=0，f（
1
2
）=
1
2
，
∵2f（x）=f（5x），∴f（
x
5
）=
1
2
f（x）
所以f（
1
5
）=
1
2
f（1）=
1
2

f（
1
25
）=
1
2
f（
1
5
）=
1
4
，以此类推
f（
1
125
）=
1
8
，f（
1
625
）=
1
16
，f（
1
3125
）=
1
32
，
再用 f（
x
5
）=
1
2
f（x） 得，
f（
1
10
）=
1
2
f（
1
2
）=
1
4
，f（
1
50
）=
1
2
f（
1
10
）=
1
8
，f（
1
250
）=
1
16
，f（
1
1250
）=
1
32
，
当0≤x1＜x2≤1时，f（x1）≤f（x2），
而
1
3125
≤
1
2010
≤
1
1250
，∴f（
1
3125
）≤f（
1
2010
）≤f（
1
1250
），
1
32
≤f（
1
2010
）≤
1
32

所以，f（
1
2010
）=
1
32
；
故选B．
点评：本题考查函数的周期性、求函数值．
练习册系列答案
相关题目
定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，
π
2
]时，f（x）=sinx，则f（
5π
3
）的值为
 
．
20、已知定义在R上的函数f（x）=-2x3+bx2+cx（b，c∈R），函数F（x）=f（x）-3x2是奇函数，函数f（x）在x=-1处取极值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）讨论f（x）在区间[-3，3]上的单调性．
定义在R上的函数f（x）满足：f(x+2)=
1-f(x)1+f(x)
，当x∈（0，4）时，f（x）=x2-1，则f（2010）=
 
．
已知定义在R上的函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤
π
2
），最大值与最小值的差为4，相邻两个最低点之间距离为π，函数y=sin（2x+
π
3
）图象所有对称中心都在f（x）图象的对称轴上．
（1）求f（x）的表达式；    
（2）若f（
x0
2
）=
3
2
（x0∈[-
π
2
，
π
2
]），求cos（x0-
π
3
）的值．
已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x 0 1 2 3
f（x） 3.1 0.1 -0.9 -3
那么函数f（x）一定存在零点的区间是（　　）

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