Question

【题目】定义：对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．
（1）已知二次函数f（x）=ax2+2x﹣4a（a∈R），试判断f（x）是否为定义域R上的“局部奇函数”？若是，求出满足f（﹣x）=﹣f（x）的x的值；若不是，请说明理由；
（2）若f（x）=2x+m是定义在区间[﹣1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）为“局部奇函数”等价于关于x的方程f（﹣x）=﹣f（x）有解．

当f（x）=ax2+2x﹣4a（a∈R）时，

方程f（﹣x）=﹣f（x）即2a（x2﹣4）=0，有解x=±2，

所以f（x）为“局部奇函数”

（2）解：当f（x）=2x+m时，f（﹣x）=﹣f（x）可化为2x+2﹣x+2m=0，

因为f（x）的定义域为[﹣1，1]，所以方程2x+2﹣x+2m=0在[﹣1，1]上有解．

令t=2x，t∈[ ，2]，则﹣2m=t+

设g（t）=t+ ，则g'（t）=1﹣ = ，

当t∈（0，1）时，g'（t）＜0，故g（t）在（0，1）上为减函数，

当t∈（1，+∞）时，g'（t）＞0，故g（t）在（1，+∞）上为增函数．

所以t∈[ ，2]时，g（t）∈[2， ]．

所以﹣m∈[2， ]，即m∈[﹣ ，﹣1]

【解析】（1）若f（x）为“局部奇函数”，则根据定义验证条件是否成立即可；（2）利用局部奇函数的定义，求出使方程f（﹣x）=﹣f（x）有解的实数m的取值范围，可得答案．
【考点精析】通过灵活运用二次函数的性质，掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减即可以解答此题．