题目内容
【题目】设有三个乡镇,分别位于一个矩形的两个顶点M,N及的中点S处,,现要在该矩形的区域内(含边界),且与M,N等距离的一点O处设一个宣讲站,记O点到三个乡镇的距离之和为.
(1)设,试将L表示为x的函数并写出其定义域;
(2)试利用(1)的函数关系式确定宣讲站O的位置,使宣讲站O到三个乡镇的距离之和最小.
【答案】(1);(2)宣讲站位置O满足:,时,可使得三个乡镇到宣讲站的距离之和最小.
【解析】
(1)根据锐角三角函数的定义表示出,从而得出关于的函数;
(2)利用换元法,令,可得,然后再根据不等式的性质和三角函数的性质,从而求出取得最小值时的大小.
(1)过O作,垂足为T,图略,则T为的中点,
∴,
∴,,,
∴.
(2)由(1)知,,
∴,
令,
则,∴,
由得,或(舍),
当时,,L取最小值,
即宣讲站位置O满足:,,时,
可使得三个乡镇到宣讲站的距离之和最小.
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