题目内容

6.已知函数f(x)的导函数为f′(x),满足xf′(x)+2f(x)=$\frac{lnx}{x}$,且f(e)=$\frac{1}{2e}$,则f(x)在(0,+∞)上的单调性为(  )
A.先增后减B.单调递增C.单调递减D.先减后增

分析 根据$xf′(x)+2f(x)=\frac{lnx}{x}$得到x2f′(x)+2xf(x)=lnx,从而得到[x2f(x)]′=lnx,从而x2f(x)=xlnx-x+c,由条件f(e)=$\frac{1}{2e}$即可求出c,从而求出f(x),然后求导,根据导数符号即可判断f(x)的单调性.

解答 解:∵$xf′(x)+2f(x)=\frac{lnx}{x}$;
∴x2f′(x)+2xf(x)=lnx;
∴[x2f(x)]′=lnx;
∴x2f(x)=xlnx-x+c;
∵$f(e)=\frac{1}{2e}$;
∴${e}^{2}•\frac{1}{2e}=e-e+c$;
∴$c=\frac{e}{2}$;
∴${x}^{2}f(x)=xlnx-x+\frac{e}{2}$;
∴$f(x)=\frac{lnx-1}{x}+\frac{e}{2{x}^{2}}$;
∴$f′(x)=\frac{2x-xlnx-e}{{x}^{3}}$;
令g(x)=2x-xlnx-e,g′(x)=1-lnx;
∴x∈(0,e)时,g′(x)>0,x∈(e,+∞)时,g′(x)<0;
∴g(e)=0是g(x)的最大值;
∴f′(x)≤0恒成立;
∴f(x)是减函数.
故选:C.

点评 考查积的导数和商的导数的计算公式,已知一个函数的导函数,可以写出这个函数的解析式,根据函数导数求函数最值的方法与过程,根据函数导数符号判断函数单调性的方法,注意正确求导.

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