Question

（本题满分13分）已知抛物线C的方程为，A，B是抛物线C上的两点，直线AB过点M。（Ⅰ）设是抛物线上任意一点，求的最小值； （Ⅱ）求向量与向量的夹角（O是坐标原点）；（Ⅲ）在轴上是否存在异于M的一点N，直线AN与抛物线的另一个交点为D，而直线DB与轴交于点E，且有？若存在，求出N点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）N

（Ⅰ）设，
=，则的最小值为…3分
（Ⅱ）由题意可设直线AB的方程为（存在），令A、B，将直线方程代入抛物线方程，化简得：，
则，…5分而，
于是=，因此，向量与向量的夹角为…8分
（Ⅲ）设存在点N满足题意，则直线AD方程可设为（存在），
令D（E，将直线AD方程
代入抛物线方程并化简得：，则（1）………10分
由，得（，代入（1）式得
3，又由（Ⅰ）得，所以…12分
即在轴上存在异于M的一点N，使得……13分