题目内容

如图,在平面直角坐标系xOy中,锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A,B两点.
(Ⅰ)若点A的横坐标是
3
5
,点B的纵坐标是
12
13
,求sin(α+β)的值;
(Ⅱ)若|AB|=
3
2
,求
OA
OB
的值.
(Ⅰ)根据三角函数的定义得,cosα=
3
5
sinβ=
12
13
.…(2分)
∵α的终边在第一象限,∴sinα=
4
5
.…(3分)
∵β的终边在第二象限,∴cosβ=-
5
13
.…(4分)
∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=
4
5
×(-
5
13
)
+
3
5
×
12
13
=
16
65
.…(7分)
(Ⅱ)方法(1)∵|AB|=|
AB
|=|
OB
-
OA
|,…(9分)
又∵|
OB
-
OA
|2=
OB
2
+
OA
2
-2
OA
OB
=2-2
OA
OB
,…(11分)
2-2
OA
OB
=
9
4

OA
OB
=-
1
8
.…(13分)
方法(2)∵cos∠AOB=
|OA|2+|OB|2-|AB|2
2|OA||OB|
=-
1
8
,…(10分)
OA
OB
=|
OA
||
OB
|cos∠AOB=-
1
8
.…(13分)
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