Question

已知函数f(x)＝2x－，x∈(0，1]．
(1)当a＝－1时，求函数y＝f(x)的值域；
(2)若函数y＝f(x)在x∈(0，1]上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）[2，＋∞)（2）(－∞，－2]

(1)当a＝－1时，f(x)＝2x＋，
因为0<x≤1，所以f(x)＝2x＋≥2＝2，当且仅当x＝时，等号成立，
所以函数y＝f(x)的值域是[2，＋∞)．
(2)(解法1)设0<x₁<x₂≤1，
由f(x₁)－f(x₂)＝＝2(x₁－x₂)＋＝，
因为函数y＝f(x)在x∈(0，1]上是减函数，
所以f(x₁)－f(x₂)>0恒成立，
所以2x₁x₂＋a<0，即a<－2x₁x₂在x∈(0，1]上恒成立，
所以a≤－2，即实数a的取值范围是(－∞，－2]．
(解法2)由f(x)＝2x－，知f′(x)＝2＋，
因为函数y＝f(x)在x∈(0，1]上是减函数，
所以f′(x)＝2＋≤0在x∈(0，1]上恒成立，
即a≤－2x²在x∈(0，1]上恒成立，
所以a≤－2，即实数a的取值范围是(－∞，－2]．