题目内容

已知数列{a_n}满足 $数学公式$
（I）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）记 $数学公式$ ，若对于任意正整数n都有 $数学公式$ 成立，求实数λ的取值范围．

解：（I） $\text{[math]}$
（Ⅱ）原式两边取倒数，则 $\text{[math]}$
上式两边取对数，则 $\text{[math]}$
解得 $\text{[math]}$
（Ⅲ） $\text{[math]}$
由题中不等式解得， $\text{[math]}$ 对于任意正整数均成立
注意到 $\text{[math]}$ ，构造函数 $\text{[math]}$
则 $\text{[math]}$ 设函数 $\text{[math]}$
由g'（x）=sinx-1＜0对 $\text{[math]}$ 成立，得g（x）=1-cosx-x为 $\text{[math]}$ 上的减函数，
所以g（x）_max＜g（0）=0即f'（x）＜0对 $\text{[math]}$ 成立，因此f（x）为 $\text{[math]}$ 上的减函数，
即f（x）_max＜f（0）=0，故λ≥0
分析：（I）直接利用递推公式，令n=1，n=2计算
（Ⅱ）原式两边取倒数， $\text{[math]}$ ，再取对数，构造出 $\text{[math]}$ ．据此求{a_n}的通项公式；
（Ⅲ） $\text{[math]}$ ，分离常数，变为λ＞y 恒成立的形式，故λ大于y的最大值，利用y 的单调性确定它的最大值．
点评：本题主要考查数列通项公式求解、不等式恒成立问题．用到对数的运算、函数与导数知识，需具有转化构造能力、计算能力、分析解决问题能力．