题目内容
(本小题满分14分)
执行下面框图所描述的算法程序,记输出的一列数依次为
,
,…,
,
,
.(注:框图中的赋值符号“
”也可以写成“
”或“:
”)
(1)若输入
,写出输出结果;
(2)若输入
,求数列
的通项公式;
(3)若输入
,令
,求常数
(
),使得
是等比数列.

执行下面框图所描述的算法程序,记输出的一列数依次为








(1)若输入

(2)若输入


(3)若输入






解(1)输出结果是:0,
,
.……3分
(2)(法一)由程序框图可知,
,
,
,
.
所以,当
时,
, …………………5分
,而
中的任意一项均不为1,(否则的话,由
可以得到
,…,与
矛盾),
所以,
,
(常数),
,
.故
是首项为
,公差为
的等差数列, ……………………………7分
所以,
,数列
的通项公式为
,
,
.…8分
(法二)当
时,由程序框图可知,
,
,
,
,……
猜想
,
,
. …………………………………………5分
以下用数学归纳法证明:
①当
时,
,猜想正确;
②假设
(
,
)时,猜想正确.即
,………………7分
那么,当
时,
由程序框图可知,
.即
时,猜想也正确.
由①②,根据数学归纳法原理,猜想
正确,
,
.……8分
(3)(法一)当
时,
,
令
,则
,
,
. …………10分
此时,
, ………………………………12分
所以
,
,
,又
,
故存在常数
(
),
使得
是以
为首项,
为公比的等比数列. ……………………………14分
(法二)当
时,令
,即
,解得
,…10分
因为
,
,
.
所以
, ①
,② 12分
①÷②,得
,
即
,
,
,又
,
故存在常数
(
)
使得
是以
为首项,
为公比的等比数列. ……………………………14分


(2)(法一)由程序框图可知,




所以,当







所以,







所以,





(法二)当





猜想



以下用数学归纳法证明:
①当


②假设




那么,当

由程序框图可知,


由①②,根据数学归纳法原理,猜想



(3)(法一)当


令




此时,

所以




故存在常数


使得



(法二)当




因为



所以


①÷②,得

即




故存在常数


使得



略

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