题目内容
【题目】在四棱锥中
中，
是边长为
的等边三角形，底面
为直角梯形，
，
，
，
．
（1）证明：
；
（2）求二面角
的余弦值．
【答案】（1）详见解析；（2）
．
【解析】
（1）取
的中点为
，连接
，由
是等边三角形可得
，再由底面
为直角梯形，结合已知的边长可证得
，于是得
平面
，从而证得结果；
（2）由条件可得可知
两两垂直，所以以
为坐标原点建立直角坐标系
，利用向量法求出二面角
的余弦值.
（1）证明：取的中点为，连接，因为是等边三角形，所以．
因为在直角梯形中，
，
，
，所以
所以
为等腰三角形，所以
因为
，所以平面
因为
平面，所以
．
（2）解：因为
，
，
为正三角形的边上的高，所以
．
因为
，所以
，由（1）可知两两垂直．
以为坐标原点建立直角坐标系，则
，
，
，
则
，
，
设平面
的法向量为
则
,即
令
得
．
设平面
的法向量为
则
,即
令
，则
因为二面角为锐二面角，所以其余弦值为．
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购买量 |
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人数 | 100 | 300 | 400 | 150 | 50 |
将烦率视为概率
（1）试求消费者粽子购买量不低于300克的概率；
（2）若该市有100万名消费者，请估计该市今年在端午节期间应准备多少千克棕子才能满足市场需求（以各区间中点值作为该区间的购买量）.
