题目内容
【题目】已知函数
（
，
）.
（1）当
（e为自然对数的底数）时，
（i）若
在
上恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围；
（ii）若
（
），求
在
上的最大值；
（2）当
时，
，
，数列
满足
.求证：
.
【答案】（1）（i）
.（ii）
（2）见解析
【解析】
（1）
时，（i）
，
，判断函数的单调性，求解函数的最值，推出m的范围.（ii）
（
），
.通过
①当
时，②当
时，③当
时，利用函数的导数，求解函数的最值.
（2）
时，
，
，转化求解函数的通项公式，利用不等式求解结果即可.
（1）时，（i），，
故
在
上单调递减；在
上单调递增；
故在
上恰有两个相异实根，
故
，解得.
（ii）（），∴.
①当时，
，
在
上为增函数，则此时
；
②当时，
，在
上为增函数，
故在上为增函数，此时；
③当时，，在
上为增函数，在上为减函数，
若
，即
时，故在
上为增函数，在
上为减函数，
此时
，
若
，即
时，在上为增函数，则此时
；
综上所述：
.
（2）时，，，
即
，
所以
.
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