Question

（理）如图，将∠B＝，边长为1的菱形ABCD沿对角线AC折成大小等于θ的二面角B－AC－D，若θ∈［，］，M、N分别为AC、BD的中点，则下面的四种说法：

①AC⊥MN；
②DM与平面ABC所成的角是θ；
③线段MN的最大值是，最小值是；
④当θ＝时，BC与AD所成的角等于.
其中正确的说法有　　　　(填上所有正确说法的序号).

Answer 1

① ③

试题分析：如图，

AC⊥BM，AC⊥MD⇒AC⊥平面BMD，所以AC⊥MN，①正确；因为θ∈［，］，且线与面所成角的范围为［0，］，所以DM与平面ABC所成的角不一定是θ，②错；BM＝DM＝，MN⊥BD，∠BMD＝θ，所以MN＝BM·cos＝·cos，所以线段MN的最大值是，最小值是，③正确；当θ＝时，过C作CE∥AD，连结DE，且DE∥AC，则∠BCE(或其补角)即为两直线的夹角，BM⊥DM，BM＝DM＝，BD²＝，又DE∥AC，则DE⊥平面BDM，∴DE⊥BD，BE²＝＋1＝，cos∠BCE＝≠0，所以④错
点评：解决该试题的关键是理解折叠图前后的不变量，以及垂直的关系。同时能熟练的利用线面的垂直的判定定理和性质定理，属于中档题。