Question

【题目】设为椭圆：的内接三角形，其中，为椭圆与轴正半轴的交点，直线、斜率的乘积为，为的重心.求的取值范围.

Answer 1

【答案】

【解析】

易知，直线过原点.

此时，，（定值）.

设点，.

求的取值范围等价于求函数的取值范围，其中，.

设，，

. ①

方程①对应的曲线是焦点为、且长轴长为的椭圆.

（1）当方程①过点、时，由椭圆定义，知方程①可化为.

此时，椭圆上的任意一点，满足，

当且仅当，时，上式等号成立，即椭圆上的其他点均在椭圆外.

故方程①过椭圆上的其他点时会使增大.

从而，.

（2）当方程①过点、时，由椭圆定义，知方程①可化为.

此时，椭圆上的任意一点，满足，

当且仅当，时，上式等号成立，即椭圆上的其他点均在椭圆内.

故方程①过椭圆上的其他点时会使减小.

从而，.

又等号成立时、中有一点会与重合，因此，等号不成立.

综上，当方程①经过椭圆上其他点时，由介值定理知.

故的取值范围是.