题目内容
【题目】在三棱锥中,
,
,
,
,点D在线段AB上,且满足
.
(1)求证:
(2)当平面平面
时,求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)首先取的中点
,连接
,
,易证
平面
,再利用线面垂直的性质即可证明
.
(2)过点作
于O,连
,
,易证
,得到
,从而得到
为二面角
的平面角,且
.设
,利用余弦定理得到
,根据
得到
,利用三棱锥等体积转换得到
到面
的距离为
的值,再求直线
与平面
所成角即可.
(1)取的中点
,连接
,
,
因为,
为
的中点,所以
.
因为,
为
的中点,所以
.
平面
.
平面
,所以
.
(2)过点作
于O,连
,
因为,
,
为公共边,
所以,即
.
所以为二面角
的平面角,
因为平面平面
,所以
.
令,则
,
,
.
平面平面
,
,所以
平面
.
平面
,
.
在中,由
,
得,
,所以
,得
.
又因为,记
到面
的距离为
,
,
.
.
则,
记直线与平面
所成角为
,则
.
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